ما هي خصائص الأعداد الحقيقية وما هي مجموعاتها بالتفصيل

تعرف على الأعداد الحقيقية وعلى ما هي خصائص الأعداد الحقيقية وما هي مجموعاتها بالتفصيل عبر موقع محيط، حيث أن الأعداد الحقيقية هي في الحقيقة عبارة عن جميع الأعداد التي يمكن القيام بإيجادها على خط الأعداد، وتشمل هذه الأعداد كافة الأعداد السالبة والموجبة، كما أنها تشمل كلا من الأعداد الفردية والزوجية أيضًا، بالإضافة إلى أنها تشمل كلا من الأعداد النسبية والأعداد غير النسبية وحتى الصفر، فهي عبارة عن الأعداد التي يمكن أن نقوم بإستخدامها في حياتنا اليومية، وفيما يلي سنتعرف على مفهوم الأعداد الحقيقية وعلى خصائصها ومجموعاتها بالتفصيل.

ما هو مفهوم الأعداد الحقيقية

يمكن تعريف الأعداد الحقيقية بأنّها عبارة عن أيّ عدد يمكننا القيام بالتفكير فيه، إذ يُمكن أن تكون الأعداد الحقيقية أعداد موجبة أو سالبة، كما أنّها تشمل أيضاً العدد صفر.

هذا وتسمى الأعداد الحقيقية بهذا الإسم بالتحديد لأنّها في الحقيقة ليست عبارة عن مجموعة من الأعدادًا الوهمية؛ وهي الأعداد التي تعتبر نظامًا مختلفًا كلياً من الأعداد، فهي عبارة عن أعداد لا يمكن القيام بتحديدها مثل الجذر التربيعي للعدد -1.

ومن أبرز وأهم الخصائص المتعددة التي تميز الأعداد الحقيقية عن غيرها من الأعداد هي إمكانية القيام بتمثيلها على خط الأعداد؛ وهو الخط الذي يُعد خط مركزه هو العدد صفر أو ما يطلق عليه إسم نقطة الأصل.

وعلى يمين هذا الخط جميع الأعداد الحقيقية الموجبة، وعلى يساره جميع الأعداد الحقيقية السالبة؛ ويجب العلم أن أيّ عدد يتواجد على هذا الخط هو عددًا حقيقيًا.

ومن الجدير بالذكر أنّه يُمكننا القيام بإستخدام الأعداد الحقيقية في قياس العديد من الأمور مثل المسافة، كما يمكننا القيام بقياس الكميات كالكتلة والوقت والطاقة والسرعة وغيرها الكثير من الأمور الأخرى.

ويجب العلم أن الأعداد الحقيقية لا يوجد لها نهاية محددة أو معينة، لذلك فإنه يرمز لها في علم الرياضيات برمز اللانهائي وهي: ∞.

وهذه اللانهائية تعني وتشير إلى كلا الطرفين المتواجدين على خط الأعداد، سواء الأعداد الموجبة والأعداد السالبة.

لا تفوت فرصة التعرف على: علم الرياضيات | بحث شامل عن علم الرياضيات وعن أهم فروعه ومجالاته

ما هي مجموعات الأعداد الحقيقية

تنقسم الأعداد بوجه عام في علم الرياضيات إلى العديد من الأقسام والفروع، فعلي سبيل المثال؛ تنقسم الأعداد الحقيقية إلى كلا من الأعداد النسبية والأعداد غير النسبية.

وتنقسم الأعداد النسبية بدورها إلى كلا من الأعداد الكسرية والأعداد الصحيحة، أما بالنسبة إلى الأعداد الصحيحة فهي تنقسم إلى كلا من الأعداد السالبة والأعداد الكاملة.

أما الأعداد الكاملة فهي تنقسم إلى كلا من الأعداد الطبيعية والعدد صفر، وفيما يلي بيان مفصل لكل مجموعة من هذه المجموعات المتعددة:

الأعداد الطبيعية:

تعرف الأعداد الطبيعية بأنها أعداد موجبة، وهي الأعداد التي يتم القيام بإستخدامها عند القيام بعد شيء ما؛ أيّ أنّ الأعداد الطبيعية هي عبارة عن أعداد صحيحة تبدأ بالتحديد من العدد 1.

الأعداد الكلية:

يجب العلم أن الأعداد الكلية لا يُمكن أنّ تكون عبارة عن كسورًا أو حتى كسورًا عشرية؛ فهي عبارة عن أعداد كاملة، ومن الجدير بالذكر أن الفرق الوحيد بينها وبين الأعداد الطبيعية هو العدد صفر.

وهو العدد الذي يُصنّف ضمن مجموعة الأعداد الكلية، ومع ذلك فإنّه يتواجد مجموعة كبيرة من علماء الرياضيات يُصنفون أيضًا العدد صفر ضمن مجموعة الأعداد الطبيعية.

الأعداد الصحيحة:

يمكن تعريف الأعداد الصحيحة على أنها جميع الأعداد التي من الممكن أنّ تكون أعدادًا كلية، كما أنها قد تكون أعدادًا كلية سالبة، حيث يُشار للأعداد الصحيحة بصورة دائمة على أنّها مجموعة من الأعداد الموجبة أو السالبة.

الأعداد النسبية:

وهي عبارة عن جميع الأعداد التي يتم القيام بالتعبير عنها ككسر، ويكون بسط هذا الكسر عدد صحيح و مقامه أيضاً عدد صحيح، هذا بالإضافة إلى إمكانية القيام بتمثيلها على هيئة كسر عشري منتهي أو على شكل كسر عشري متكرر.

الأعداد غير النسبية:

وهي عبارة عن الأعداد التي لا يمكن القيام بكتابتها ككسر عن طريق إستخدام أعداد صحيحة سالبة وموجبة، إلا أنّه يمكن القيام بالتعبير عنها ككسر عشري غير دوري وغير منته.

الأعداد الحقيقية:

وهي عبارة عن الأعداد التي تشمل وتضم كل من الأعداد الطبيعية والأعداد الصحيحة والأعداد الكلية والأعداد النسبية والأعداد غير النسبية، بالإضافة إلى أنّها تشمل أيضاً كل من الكسور العادية والكسور العشرية.

لا تفوت فرصة التعرف على: ما هو نظام التكامل | 6 تطبيقات للتكامل في الرياضيات

ما هي خصائص الأعداد الحقيقية

تتواجد العديد من الخصائص المذهلة التي تتمتع بها الأعداد الحقيقية، ومن أهم وأبرز هذه الخصائص ما يلي ذكره:

خاصية الإنغلاق

تنص خاصية الإنغلاق (Closure Properties) على أنه إذا كان أ، وب عبارة عن عددان حقيقيان؛ فإن ناتج عملية جمع أو طرح هذين العددين (أ+ب)، (أ-ب) لابد وأن يساوي عدداً حقيقياً أيضاً.

وكذلك الحال بالنسبة لناتج عملية ضرب هذان العددين (أ×ب)، فهو يجب أن يساوي عدداً حقيقياً أيضاً.

فعلى سبيل المثال:

إذا كان كلا من العددان 3،11 عددان حقيقيان؛ فإنّ: 3+11 = 14، 3×11 = 33، وكلا من العددان 14، و33 هما عبارة عن أعداداً حقيقية، ويجب العلم أن ذلك لا ينطبق على عملية القسمة، وذلك كما يأتي:

إن كلا من العددين 0، و5 عبارة عن عددان حقيقيان، لكنّ ناتج قسمة هذان العددان 5/0 ينتج قيمة غير مُعرّفة، وهو عبارة عن عدد غير حقيقي؛ إذ إن عملية القسمة على العدد صفر دائماً تنتج قيمة غير معرفة.

الخاصية التبديلية

يجب العلم أن الخاصية التبديلية (Commutative Properties) تنطبق على عملية ضرب الأعداد الحقيقية وجمعها، وتعني هذه الخاصية أنّه: إذا كان أ، ب عبارة عن عددان حقيقيان فإنّ: أ+ب = ب+أ، و أ×ب = ب×أ.

ويمكن توضيح هذه الخاصية عن طريق الأمثلة الآتية:

• 3+4 = 4+3، وفي كلتا الحالتين السابقتين يكون الناتج مساوي للعدد 7.
• 4×8 = 8×4، وفي كلتا الحالتين السابقتين ينتج لنا العدد الحقيقي 32.

الخاصية التجميعية

الخاصية التجميعية (Associative Properties) تنطبق على كلا من عمليتان طرح وجمع الأعداد الحقيقية، وتعني هذه الخاصية أنّه إذا كان كل من أ، ب، جـ عبارة عن أعداداً حقيقية، فإنّ: (أ+ب)+جـ = أ+(ب+جـ)، و (أ×ب)×جـ = أ×(ب×جـ).

وفيما يلي بعض الأمثلة التوضيحية لذلك:

• (2+6)+1 = 2+(6+1)، وعليه فإن: 8+1 = 2+7، ومنه: 9 = 9؛ أي أنه تم الحصول في كلتا الحالتين السابقتين على نفس النتيجة.
• (2×3)×5 = 2×(3×5)، وعليه فإن: 6×5 = 2×15، ومنه: 30 = 30؛ وهو الأمر الذي يعني أنه في كلتا الحالتين السابقتين تم الحصول على نفس الناتج.

لا تفوت فرصة التعرف على: اهمية دراسة الرياضيات وفوائده لتنمية مهارات العقل

الخاصية التوزيعية

تعتبر الخاصية التوزيعية (Distributive Properties) من خصائص المهمة جداً لعملية الضرب، وتعني هذه الخاصية أنّه يمكن القيام بتوزيع عملية الضرب على كلا من عمليتي الجمع والطرح.

فعلى سبيل المثال:

جـ×(أ+ب) = جـ×أ + جـ×ب، ويمكن القيام بإثبات ذلك كما يأتي:

إنّ 4×(أ+ب) تعني أنه تتواجد أربعة حدود من (أ+ب)؛ وهما (أ+ب) + (أ+ب) + (أ+ ب) + (أ+ب) = 4×أ + 4×ب، وهي بالتأكيد تعادل الناتج الذي يمكن الحصول عليه عند القيام بتطبيق الخاصية التوزيعية.

وفيما يلي بعض الأمثلة التوضيحية لذلك:

• 2×(5+7) = 2×5 + 2×7 = 24.
• 6×(س+3) = 6×س + 6×3 = 6س+18.

الخاصية الهوية

تعني خاصية الهوية (The Identity Properties) بأن العدد صفر هو العنصر المحايد لعملية الجمع، وهو الأمر الذي يعني أن إضافة أي عدد حقيقي إلى العدد صفر ينتج ويعطي نفس العدد؛ مثل: 6+0 = 6.

ويجب العلم أن العنصر المحايد لعملية الضرب هو العدد 1، وهو الأمر الذي يعني أن عملية ضرب أي عدد حقيقي في العدد 1 يُنتج العدد نفسه، مثل: 6×1 = 6.

وعلى وجه العموم، إذا كان أ عبارة عن عدد حقيقي، فإنّ:

• أ+0 = أ.
• أ×1 = أ.

خاصية المعكوس

خاصية المعكوس (Inverse Properties)، حيث يمكن القيام بتعريف المعكوس الجمعي لأي من الأعداد الحقيقية بأنه عبارة عن العدد الذي عند القيام بإضافته إلى ذلك العدد يقوم بإعطاء النتيجة (0).

فعلى سبيل المثال، المعكوس الجمعي للعدد الحقيقي 3 هو -3، وذلك لأنّ: 3+(-3) = 0، والمعكوس الجمعي للعدد الحقيقي 15- مثلاً هو 15.

أما بالنسبة إلى المعكوس الضربي، فهو عبارة عن العدد الذي عند القيام بضربه في أي عدد حقيقي ينتج النتيجة (1)، ومن الجدر بالذكر أن مقلوب العدد يمثل دائماً المعكوس الضربي له.

فمثلاً المعكوس الضربي للعدد الحقيقي 6 هو 1/6، وذلك لأنّ: 6×(1/6) = 1، والمعكوس الضربي للعدد الحقيقي 2/3 هو 3/2.

وبشكل عام، إذا كان أ عبارة عن عدد حقيقي، فإنّ:

• المعكوس الجمعي لهذا العدد هو -أ، وذلك لأنّ: أ+(-أ) = 0، و (-أ)+أ = 0.
• المعكوس الضربي للعدد الحقيقي أ هو عبارة عن مقلوب العدد؛ بمعنى (1/أ)، وذلك لأنّ: أ×(1/أ) = 1.

بذلك نكون قد تعرفنا على ما هو مفهوم الأعداد الحقيقية وعلى مجموعاتها المختلفة، كما تعرفنا على ما هي الخصائص المتنوعة للأعداد الحقيقية بالتفصيل.