ما هي الأعداد الأولية وما هي خصائصها وطرق تحديدها والتعرف عليها بالتفصيل

تعرف على الأعداد الأولية وعلى ما هي الأعداد الأولية وما هي خصائصها وطرق تحديدها والتعرف عليها بالتفصيل عبر موقع محيط، حيث يعرف العدد الأولي بأنه عبارة عن عددٌ صحيحٌ أكبر من العدد واحد، وعوامله الوحيدة هي عبارة عن العدد واحد ونفسه، حيث يمكن تعريف العامل بأنه عبارة عن جميع الأعداد والأرقام التي من الممكن القيام بتقسيمها بالتساوي على رقمٍ آخر، ومن الجدير بالذكر أنّ الأعداد الأولية الأولى في مجموعة وسلسلة الأرقام هي 2،3،5،7،11،13،17،19،23،29، بينما يطلق على الأرقام التي تسمح وتقبل أكثر من عاملي قسمة طبيعيّة في نفس الوقت إسم الأرقام المركبة، أمّا بالنسبة إلى العدد واحد فهو في الحقيقة ليس عدداً أوليًا وليس عدداً مركبًا كذلك.

بعض المعلومات العامة عن علم الرياضيات

يعرف عن علم الرياضيات أنه يشتمل على دراسة الكثير والعديد من المواضيع الرياضية المختلفة التي تُستخدم بشكل دائم في الحياة اليومية.

ومن أهم تلك المواضيع الرياضية المتنوعة كل من نظرية الأعداد ونظرية البُنية الجبرية في علم الجبر وهو أحد فروع علم الرياضيات، كما تُستخدم نظريات علم الهندسة في الفضاء، وتُستخدم نظريات التغيير في التحليل الرياضي.

إذ أن علم الرياضيات يدخل في كل الأمور والأشياء التي تحيط بالإنسان، كما أنه يتواجد في كل الأمور التي يقوم بها أيضًا.

حيث أن علم الرياضيات يُعد حجر الأساس وهو البنية الأساسية لكل شيء متواجد في الحياة اليومية، بما في ذلك التكنولوجيا المتطورة التي تدخل في صناعة الأجهزة المحمولة وغيرها من الإلكترونيات المتطورة.

وبما في ذلك أيضاً علم الهندسة بشكل عام وعلم الهندسة المعمارية بشكل خاص، حيث أن إنشاء كلا من المباني والعقاقير يعتمد بشكل أساسي على الهندسة المعمارية، كما يعتمد كل من المال والفن والرياضة على علم الرياضيات.

وجاءت الحاجة الشديدة إلى علم الرياضيات بالإعتماد على جميع إحتياجات المجتمع المختلفة؛ حيث أنه كلما كان المجتمع الذي نعيش به أكثر تعقيدًا وتطوراً؛ تزداد إحتياجاته الشديدة لعلم الرياضيات بشكل أكبر وأكثر من غيره.

فمثلًا كانت إحتياجات ومتطلبات القبائل البدائية أقل بكثير جداً من القدرة على العد ومعرفة الأرقام وترتيبها، ولكن هذه القبائل قد إعتمدت على علم الرياضيات بشكل أساسي للتمكن من حساب موقع الشمس.

ما هي الأعداد الأولية

قد يرغب الكثير من الطلاب في مختلف المراحل الدراسية معرفة إجابة سؤال “ما هي الأعداد الأولية؟“، حيث تعتبر هذه الأعداد الأولية أحد أهم وأشهر المفاهيم الرياضية التي تتواجد في علم الرياضيات.

والتي يجب على كل طالب القيام بدراستها وفهمها بشكل جيد جداً، وهي الأعداد التي تُعرّف في علم الرياضيات على أنّها مجموعة أعداد صحيحة،

وهي أكبر من العدد 1 أيّ أنها عبارة عن أعداد موجبة، وهي الأعداد التي تقبل القسمة على كلا من العدد نفسه والعدد 1.

وللتمكن من الإجابة بشكل سريع ومختصر عن سؤال “ما هي الأعداد الأولية؟” فإنه من الممكن القول أنّ الأعداد الأولية هي كافة الأعداد التي تمتلك زوج من العوامل؛ وهما عبارة عن: العدد نفسه والعدد 1.

فعلى سبيل المثال؛ العدد 2 يمكن الحصول عليه فقط عند القيام بضرب العدد 1 مع العدد 2، لذلك فإن العدد 2 له زوج من العوامل فقط وهما 1،2، كما يلي: (1*2= 2).

وهو الأمر الذي يعني أنه لا يوجد عاملين آخرين يمكن أنّ يتم القيام بضربهما معًا للتمكن من الحصول على العدد 2.

ويعتبر المثال الآتي من أهم وأفضل الأمثلة على الأعداد الأولية؛ وهو العدد 3، حيث أن العدد 3 لا يُمكن الحصول عليه إطلاقاً إلا إذا تم القيام بضرب كلا من العددين 1 و3 مع بعضهما البعض.

وهو الأمر الذي يعني أن العدد 3 له أيضاً زوج من العوامل فقط، وهما العدد 3،1، كما يلي: (1*3= 3).

وكذلك الأمر في كل ما يتعلق بكل من الأعداد والأرقام التالية:

5،7،11،13،17،19،23،29،31،37،41،43،47،53،59،61،67،71،73،79،83،89،97،101،103،107،109،113 وغيرها الكثير.

ومن الجدير بالذكر أنّ دراسة وفهم الأعداد الأولية قد إستمرت لفترة زمنية طويلة جداً تقدر بآلاف السنين،

حيث أثبت العالم الجليل إقليدس في كتابه الشهير الذي كان بعنوان (العناصر)؛ والذي تم القيام بنشره سنة 300 قبل الميلاد؛ الكثير من النتائج والنظريات فيما يتعلق بموضوع الأعداد الأولية.

ووفقًا للكثير من الدراسات والنظريات فقد تم القيام بإكتشاف أكبر عدد أولي حتى يومنا الحالي، وهذا العدد الأولي الكبير هو 1 – 57،885،161^2، والذي يتكوّن من 17،425،170 عددًا.

لا تفوت فرصة التعرف على: علم الرياضيات | بحث شامل عن علم الرياضيات وعن أهم فروعه ومجالاته

كيفية تحديد الأعداد الأولية

للتمكن من الإجابة عن سؤال “ما هي الأعداد الأولية؟” بشكل واضح وعملي؛ لا بدّ أن نقوم بإستخدام الكثير من الطرق التي تضمن لنا الحصول على إجابة واضحة ووافية وأكيدة.

وفيما يلي بعض الطرق والوسائل التي يُمكن من خلال إستخدامها القيام بتحديد ما إذا كان العدد عدداً أولياً أم لا، وتتمثل هذه الطرق في الآتي:

تمييز العدد المركب عن العدد الأولي

وفيما يأتي طريقة القيام بتمييز العدد المركب عن العدد الأولي بصورة سهلة وبسيطة:

العدد المركب:

• يُعرف ويتميز العدد المركب في علم الرياضيات بأنه العدد الصحيح الذي يقبل القسمة على أحد الأعداد الأولية الذي يقل عن أو يساوي جذره بالتمام دون باقٍ، فإذا كان العدد (ن) عدد مركب، بالتالي فإنه عدد يقبل القسمة (دون وجود باقٍ) على عدد أولي يقل عن أو يساوي ن√.

العدد الأولي:

• أما إذا كان العدد المركب لا يوجد لديه قابلية للقسمة دون باق على عدد أولي الذي يقل عن أو يساوي ن√، فهذا يعني ويدل على أن هذا العدد عدد أولي؛ فمثلاً العدد 23 لا يقبل القسمة على أي عدد أولي يكون أقل عن أو يساوي 23√ دون باقٍ، وهذا يُثبت ويدل على أنه عدد أولي.

إستخدام طريقة التحليل إلى عوامل

تُعتبر طريقة التحليل إلى العوامل أحد أسرع الطرق والوسائل التي يقوم علماء الرياضيات بإستخدامها للتمكن من تحديد ما إذا كان العدد عدد أوليًا أم عدداً مركباً.

وقبل القيام بإستخدام هذه الطريقة السريعة؛ من الضروري جداً معرفة أنّ عوامل العدد هي عبارة ن أيّ عددين يُمكن القيام بضربهما مع بعضهما البعض للتمكن من الحصول على هذا العدد.

فعلى سبيل المثال، عوامل العدد 10 هي كلا من 2 و5، وذلك لأنّه يمكن القيام بضرب هذه الأعداد الصحيحة مع بعضها البعض والتمكن من الحصول على العدد 10.

بالإضافة إلى ذلك، فإنه يُعد كلا من العددين 1 و 10 عواملًا أيضًا للعدد 10، وذلك لأنّ حاصل القيام بضربهما أيضًا العدد 10، وهو ما يعني أنّ العدد 10 لا تنطبق عليه شروط الأعداد الأولية، وذلك لأنّ العدد 10 له زوجين من العوامل.

كما أنّه عدد يقبل القسمة على عددين آخرين غير كلا من العدد 1 والعدد 10، أيّ أنه عند القيام بالإجابة عن سؤال “ما هي الأعداد الأولية؟” يتم دائمًا القيام بإستثناء جميع الأعداد والأرقام التي تمتلك أكثر من زوج من العوامل.

كما يُمكن القيام بتحليل العدد إلى عوامله الأصلية بطريقة الشجرة؛ فعلى سبيل المثال، وللقيام بإختبار العدد 30 يتم أولًا القيام بتحديد عوامل هذا العدد، وهما إمّا العددين 10 * 3 أو العددين 15 * 2.

أيّ أنه يوجد حالتين لهذا العدد ولكل من هاتين الحالتين نفس النتيجة، إذ إنّ تحليل الحالة الأولى والتي تتمثل في (10 * 3) يكون كما يلي:

يتم أولًا القيام بتحليل العدد 10 على هيئة (2 * 5) ، أمّا العدد 3 فلا يوجد له أي عوامل أخرى، ليصبح بذلك الجواب (2 * 5 * 3) والناتج النهائي لهذا التحليل هو العدد 30.

أمّا بالنسبة إلى تحليل الحالة الثانية وهي (15 * 2) يكون كما يلي:

يتم في البداية القيام بتحليل العدد 15 إلى (5 * 3)، أمّا العدد 2 فلا يوجد له أي عوامل أخرى، ليصبح بذلك الجواب (5 * 3 * 2) والناتج أيضًا لهذا التحليل هو العدد 30.

لا تفوت فرصة التعرف على: اهمية مادة الرياضيات للطلاب وابرز استخداماتها

إستخدام الآلة الحاسبة

يُمكن أيضًا تحديد العدد الأولي من خلال القيام بإستخدام الآلة الحاسبة، بالطبع مع القيام بمراعاة مفهوم قابلية العدد لعملية القسمة؛ حيث أن هذه الطريقة تساعد بشكل كبير على تحديد ما إذا كان العدد أوليًا أم لا.

حيث يتم القيام بإدخال العدد المراد تحديده إلى الآلة الحاسبة والقيام بتقسيمه، مع الأخذ بعين الإعتبار أنّ يكون ناتج هذه العملية الحسابية عبارة عن عددًا صحيحاً.

فعلى سبيل المثال، للقيام بإختبار الرقم 57، يتم القيام بإدخاله إلى الآلة الحاسبة ومن ثم قسمته مثلًا على العدد 2؛ ويكون الناتج النهائي لهذه العملية الحسابية هو العدد 27.5، وهو ليس عدداً صحيحاً، لذلك فهو عدد غير مقبول.

وفي محاولة أخرى لإختبار العدد 57، يتم قسمة هذا العدد على العدد 3 مثلًا، وبالتالي ينتج عن هذه العملية الحسابية عددًا صحيحًا وهو العدد 19.

وبالتالي؛ فإنّ كلا من العددين 3 و19 هما عوامل للعدد 57، لذلك فإنّ العدد 57 هو عدد مركب وغير أولي؛ وذلك لعدم إستيفاء وإنطباق شروط الأعداد الأولية عليه.

إختبارات معروفة لتحديد العدد الأولي

تتواجد عدة إختبارات في علم الرياضيات يمكن القيام بإستخدامها لكي نتمكن من تحديد ومعرفة ما إن كان العدد أولي أم لا، ومن هذه الإختبارات ما يلي:

إختبار غاوس

• لقد أوجد العالم الشهير كارل فريدريش غاوس إختباراً مميزاً يمكن من خلاله القيام بتحديد ما إن كان العدد عدداً أولياً أم عدداً مركباً، وكانت نظريته عند الأعداد الأولية التي أوجدها بخصوص هذا الموضوع تدل على التعقيد.

إختبار ميرسيني

• لقد كان هذا العالم الشهير يهتم كثيراً لمعرفة وتحديد أكبر الأعداد الأولية المتواجدة على الإطلاق، ومن الجدير بالذكر أنه لم يسن قاعدة أو صيغة معينة ومحددة لإستخدامها للتمكن من تحديد ومعرفة الأعداد الأولية.

إختبار غربال إراتوستينس

• يمكننا بإستخدام إختبار غربال إراتوستينس أن نجد العدد الأولي بكل سهولة ويسر، حيث يمكننا القيام بذلك عن طريق أن نقوم بحذف وتهميش أي عدد مركب يتواجد بالعدد المراد تحديده؛ ونترك الباقي،
• سوف نجد أن هذه الطريقة طريقة سهلة وجميلة للغاية، كما أنها بسيطة جدًا، ولكنها تعد من أبطأ الطرق المستخدمة لتحديد الأعداد الأولية، بحيث أن تكرار عملية الحذف يجعل الأمر شاقاً وبطيئاً.

لا تفوت فرصة التعرف على: ما هو نظام التكامل | 6 تطبيقات للتكامل في الرياضيات

ما هي خصائص الأعداد الأولية

بعد أن تمكنا من الإجابة عن سؤال “ما هي الأعداد الأولية؟” بات من الضروري جداً الحديث بإستفاضة عن خصائص وحقائق هذه الأعداد؛ وهي الأعداد التي تُعد اللبنات الأساسية والرئيسية للأعداد الصحيحة.

حيث تُعتبر القدرة على الحصول على عدد صحيح ومميز كناتج من أحد الأعداد الأولية هو السبب الأساسيي والرئيسي وراء وجود نظرية الأعداد بأكملها.

كما أنه السبب الرئيسي وراء كافة النتائج المثيرة للإهتمام بصورة كبيرة في هذه النظرية، حيث تم صياغة الكثير من التطبيقات والنظريات والتخمينات المهمة جداً

وذلك بالإعتماد بشكل كبير على خصائص الأعداد الأولية، وفيما يلي بعض من هذه الخصائص:

• يتواجد عدد كبير ولا نهائي من الأعداد الأولية، إذ يمكن القيام بإثبات هذه الحقيقة العلمية عن طريق إستخدام 10 طرق مختلفة.
• إذا كان p عبارة عن عددًا أوليًا و a عبارة عن عددًا صحيحًا، فبالتالي سوف يقوم ناتج هذه المعادلة الحسابية “a^p – a” بقبول القسمة على العدد p.
• يمكن أن يكون العدد p عددًا أوليًا فقط في حالة إذا كان 1x2x3x…..x(p – 1) +1 يقبل القسمة على العدد p.
• من الجدير بالذكر أن العدد 2 هو العدد الأولي الزوجي الوحيد، وجميع الأعداد الزوجية الأخرى المتبقية لا تُعتبر أعداداً أولية؛ وذلك لأنّ جميع الأعداد الزوجية المتبقية تقبل عملية القسمة على العدد 2.
• يجب العلم أنه لا يوجد عدد أولي في علم الرياضيات أكبر من العدد 5 يقوم بالإنتهاء بالعدد 5، وذلك لأنّ أيّ عدد يقوم بالإنتهاء بالعدد 5 يقبل بالتأكيد القسمة على 5؛ وهو الأمر الذي يعني أنه لا يُعد عددًا أوليًا.

لا تفوت فرصة التعرف على: اهمية دراسة الرياضيات وفوائده لتنمية مهارات العقل

ما هي أهمية الأعداد الأولية

يتساءل الكثير من الطلاب بمختلف مراحلهم الدراسية والتعليمية؛ وبعد حصولهم على الإجابة الواضحة والميسرة عن سؤال “ما هي الأعداد الأولية؟”؛ العديد من الاسئلة عن أهمية وضرورة دراسة الأعداد الأولية ومعرفتهم لها.

لذلك كان من الضروري جداً القيام بالحديث بإستفاضة عن أهمية هذه الأعداد؛ إذ يتم القيام بإستخدام الأعداد الأولية في العديد من المجالات المختلفة.

كالقيام بإستخدامها في تشفير البيانات والمعلومات، ويكون ذلك من خلال القيام بضرب عددين أوليين للتمكن من الحصول على عدد جديد، ويكون هذا العدد الجديد عبارة عن عدد مركب، والذي يسمى في تلك الحالة بالمفتاح العام.

ويُصبح من الصعب جداً القيام بتحليل هذا العدد إلى عوامله الأصلية والأولية مرة أخرى؛ والتي تعرف بإسم المفتاح الخاص، ويصبح من الصعب للغاية القيام بذلك بسبب كبر هذه الأرقام.

ومن الجدير بالذكر هنا أنّ كافة الأعداد الناتجة من هذه العمليات الحسابية المستخدمة لتشفير البيانات هي في الحقيقة أعداد كبيرة للغاية وليست أرقاما صغيرة وبسيطة يمكن القيام بالتعامل معها بصورة بسيطة وإعادة القيام بتحليلها.

وقد رأى علماء الرياضيات أن هذه الأمر عبارة عن ميزة كبيرة ويمكن القيام بإستخدامها واللجوء إليها من قبل الكثير من العلماء وإستغلالها بشكل صحيح في عمليات التشفير.

إذ أنه من الصعب جدًا التمكن من الوصول إلى المفتاح الخاص بسهولة ويسر وفي وقت قصير من قبل أيّ شخص.

كما أنه يتم القيام بإستخدام الأعداد الأولية في كل من النظرية الرياضية للموسيقى بصورة كبيرة، كما أنها تستخدم أيضاَ في الإلكترونيات والحواسيب ومعالجة البيانات والمعلومات.

بالإضافة إلى أنه يتواجد للأعداد الأولية عدة تطبيقات على الكثير من العمليات التي تشترك في القيام بمعالجة الإشارات، ويتواجد لها أيضاً مجموعة كبيرة من التطبيقات على كلا من الفيزياء وميكانيكا الكم.

حيث أن الأعداد الأولية منتشرة بشكل كبير جداً في الكثير من مناحي ومجالات الحياة لدرجة أنّ لا يتواجد جانب واحد من جوانب الحياة العامة لا يتأثر بها.

بذلك نكون قد تعرفنا على بعض المعلومات العامة عن علم الرياضيات وعلى ما هي الأعداد الأولية، كما تعرفنا على الطرق المتعددة لتحديد الأعداد الأولية وعلى ما هي خصائص الأعداد الأولية، هذا بالإضافة إلى أننا قد تعرفنا على ما هي أهمية الأعداد الأولية بالتفصيل.